Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=

lnx

x

，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）討論a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)性和極值；
（2）求證：在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+

1

2

；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）因?yàn)?span mathtag="math" >f(x)=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
  當(dāng)1＜x≤e時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=1．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的極小值為1，即函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值為1．
又g′(x)=

1-lnx

x2

，所以當(dāng)0＜x＜e時(shí)，=g'（x）＞0，此時(shí)g（x）單調(diào)遞增．
所以g（x）的最大值為g（e）=

1

e

＜

1

2

，所以f(x)min-g(x)max＞

1

2

，所以在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+

1

2

．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，有最小值3，則f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f(x)min=f(e)=ae-1=3，a=

4

e

，（舍去），此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值是不是3．
②當(dāng)0＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）在（0，

1

a

]上單調(diào)遞減，f（x）在（

1

a

，e]上單調(diào)遞增．
所以(x)min=f(

1

a

)=1+lna=3，a=e2，滿(mǎn)足條件．
③當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f(x)min=f(e)=ae-1=3，a=

4

e

，（舍去），此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值是不是3．
綜上可知存在實(shí)數(shù)a=e²，使f（x）的最小值是3．