Question

如圖，AB是沿太湖南北方向道路，P為太湖中觀光島嶼，Q為停車場，PQ=5.2km．某旅游團(tuán)游覽完島嶼后，乘游船回停車場Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行駛，．游船離開觀光島嶼3分鐘后，因事耽擱沒有來得及登上游船的游客甲為了及時(shí)趕到停車地點(diǎn)Q與旅游團(tuán)會(huì)合，立即決定租用小船先到達(dá)湖濱大道M處，然后乘出租汽車到點(diǎn)Q（設(shè)游客甲到達(dá)湖濱大道后能立即乘到出租車）．假設(shè)游客甲乘小船行駛的方位角是α，出租汽車的速度為66km/h．
（Ⅰ）設(shè)，問小船的速度為多少km/h時(shí)，游客甲才能和游船同時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q；
（Ⅱ）設(shè)小船速度為10km/h，請(qǐng)你替該游客設(shè)計(jì)小船行駛的方位角α，當(dāng)角α余弦值的大小是多少時(shí)，游客甲能按計(jì)劃以最短時(shí)間到達(dá)Q．

Answer 1

【答案】分析：（I）作PN⊥AB，N為垂足，由．，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的長，構(gòu)造方程可得滿足條件的船速
（II）當(dāng)小船行駛的方位角為α?xí)r，解三角形分別求出PM，MQ長，進(jìn)而求出時(shí)間t的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最小值，可得答案．
解答：解：（Ⅰ） 如圖，作PN⊥AB，N為垂足．
，，
在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=（km），
QN=PQcosθ=（km）．
在Rt△PNM中，（km）．…（3分）
設(shè)游船從P到Q所用時(shí)間為t₁h，游客甲從P經(jīng)M到Q所用時(shí)間為t₂h，
小船的速度為v₁km/h，則（h），（h）．  …（5分）
由已知得：，，
∴．…（7分）
∴小船的速度為km/h時(shí)，游客甲才能和游船同時(shí)到達(dá)Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，（km），
（km）．
∴（km）．               …（9分）
∴=．…（11分）
∵，…（13分）
∴令t'=0得：．
當(dāng)時(shí)，t'＞0；當(dāng)時(shí)，t'＜0．
∵cosα在上是減函數(shù)，
∴當(dāng)方位角α滿足時(shí)，t最小，
即游客甲能按計(jì)劃以最短時(shí)間到達(dá)Q．…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，根據(jù)已知構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)是解答本題的關(guān)鍵．