Question

10．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，C=$\frac{3π}{4}$．
（1）求證：（1+tanA）（1+tanB）=2；
（2）若b=$\sqrt{2}$a，求證：3tanA=2tanB．

Answer 1

分析 （1）由已知得1=tan$\frac{π}{4}$=tan（A+B），展開(kāi)兩角和的正切，化簡(jiǎn)整理得答案；
（2）把b=$\sqrt{2}$a由正弦定理化邊為角，代入B=$\frac{π}{4}-A$，展開(kāi)兩角和的正切，求得tanA，結(jié)合（1）求得tanB，即可證得答案．

解答 證明：（1）∵C=$\frac{3π}{4}$，∴A+B=$π-\frac{3π}{4}=\frac{π}{4}$，
則1=tan$\frac{π}{4}$=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
∴1-tanAtanB=tanA+tanB．
則tanA+tanB+tanAtanB=1，
∴1+tanA+tanB+tanAtanB=2，
即：（1+tanA）（1+tanB）=2；
（2）由b=$\sqrt{2}$a，得$sinB=\sqrt{2}sinA$，
∴sin（$\frac{π}{4}-A$）=$\sqrt{2}sinA$，即sin$\frac{π}{4}cosA-cos\frac{π}{4}sinA=\sqrt{2}sinA$，
得tanA=$\frac{1}{3}$，代入（1+tanA）（1+tanB）=2，得tanB=$\frac{1}{2}$．
∴3tanA=1，2tanB=1．
則3tanA=2tanB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正切，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬中檔題．