Question

已知橢圓C的方程為左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，焦距為4，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，滿足
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（0，2）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出直線AB的斜率k的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或.

試題分析：（Ⅰ）在 中,設(shè),,由余弦定理得，
即，即，得.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240105303121276.png" style="vertical-align:middle;" />，，，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010530344427.png" style="vertical-align:middle;" />所以，
所以所求橢圓的方程為.                    
（Ⅱ）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，
由得，即，
，，
由得，，又，，
則，，
，
那么，
則直線過(guò)定點(diǎn).                
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240105305151166.png" style="vertical-align:middle;" />，，
，
，，
，所以或.  
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．此類(lèi)題綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生要有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用