Question

(2007·廣東)設(shè)，是(a，b∈R，a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)是．

(1)如果，求證：；

(2)如果，，求b的取值范圍；

(3)如果a≥2，且，x∈(，)時(shí)，函數(shù)的最小值為h(a)，求h(a)的最大值．

Answer 1

答案：略
解析：

(1),，是方程的兩個(gè)根． 由且a＞0得 ①×(－3)＋②得4a－2b＞0． ∴ (2)由第(1)問(wèn)知 由，兩式相除得 即． ①當(dāng) 時(shí)，由， ∴，即． ∴，∈(0，2)． 令函數(shù)，∵x＞0，則， ∴φ(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． ∴當(dāng)∈(0，2)時(shí)，，即． ②當(dāng)時(shí)，∴，即． ∴，∈(－2，0)． 令函數(shù)，若x＜0則同理可證φ(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)． ∴當(dāng)∈(－2，0)時(shí)，． 綜①②所述，b的取值范圍是． (3)∵的兩個(gè)根是，， ∴可設(shè)． ∴ ∴． 令，∵a≥2，∴． 由題意知時(shí)，g(x)取最小值 ∴ ∴． 令， ∴． ∴． 由題意知a=2時(shí)，h(a)取最大值且等于．