Question

已知橢圓C方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，若橢圓C上的點P（1，

3

2

）到F₁，F(xiàn)₂的距離和等于4．
（Ⅰ）寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點Q是橢圓C的動點，求線段F₁Q中點T的軌跡方程；
（Ⅲ）直線l過定點M（0，2），且與橢圓C交于不同的兩點A，B，若∠AOB為銳角（O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k0的取值范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意得到橢圓的半長軸長，把點P的坐標(biāo)代入橢圓方程求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出Q和T的坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式把Q的坐標(biāo)用T的坐標(biāo)表示，代入橢圓方程可得線段F₁Q中點T的軌跡方程；
（Ⅲ）聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關(guān)于x的應(yīng)用二次方程，由判別式大于0及

OA

•

OB

＞0求解直線l的斜率的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得：2a=4，得a=2，
又點P（1，

3

2

）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴

1

4

+

3 4

b2

=1，解得b²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1，焦點F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)；
（Ⅱ）設(shè)橢圓上的動點Q（x₀，y₀），線段F₁Q中點T（x，y），
由題意得：

x= - 3 +x0 2 y= y0 2

，得

x0=2x+ 3 y0=2y

，代入橢圓的方程得

(2x+ 3 )2

4

+(2y)2=1，
即(x+

3

2

)2+4y2=1為線段F₁Q中點T的軌跡方程；
（Ⅲ）由題意得直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)l：y=kx+2，代入

x2

4

+y2=1整理，
得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-4（1+4k²）•12=16（4k²-3）＞0，得k2＞

3

4

　 …①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

．
∵∠AOB為銳角，
∴cos∠AOB＞0，則

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0，
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2+4)．
∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)•

12

1+4k2

+2k•(-

16k

1+4k2

)+4
=

4(4-k2)

1+4k2

＞0，
∴k²＜4 …②
由①、②得

3

4

＜k2＜4．
∴k的取值范圍是(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了代入法求曲線的關(guān)鍵方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題，常用直線和圓錐曲線聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解題，考查了學(xué)生的計算能力，是壓軸題．