Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（Ⅰ）求證：無論m取什么實(shí)數(shù)，直線l都過定點(diǎn)，并寫出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求直線l被圓C截得的弦長最短時(shí)l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）先將直線方程整理成f₁（x）+λf₂（x）=0的形式，然后通過解方程即可求出其交點(diǎn)．
（2）易知，當(dāng)定點(diǎn)與圓心連線垂直于該直線時(shí)，弦長最短，據(jù)此求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵直線l的方程等價(jià)于（2x+y-7）m+x+y-4=0（1）．
令2x+y-7=0，則由x+y-4=0
∴

2x+y-7=0 x+y-4=0

，解得 

x=3 y=1

，
∴點(diǎn)（3，1）的坐標(biāo)使方程（1）恒成立．
∴無論m取什么實(shí)數(shù)，直線l都過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，直線恒過定點(diǎn)P（3，1）．

當(dāng)x=3，y=1時(shí)，（x-1）²+（y-2）²=（3-1）²+（1-2）²＜25
∴點(diǎn)P在圓C內(nèi)．由圖知，r²-d²=(

AB

2

)2．r是定值5．
∴當(dāng)d取最大值時(shí)，AB最短．
又l⊥CP時(shí)，d取最大值．此時(shí)k_CP=-

1

2

，k_l=2．
∴l(xiāng)的方程為y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

點(diǎn)評：本題考查了交點(diǎn)直線系方程的特點(diǎn)及其應(yīng)用，同時(shí)研究了直線與圓的相交弦問題，此類問題一般是結(jié)合垂徑定理進(jìn)行研究，即半徑、弦心距、二分之一弦長符合勾股定理．由此進(jìn)一步進(jìn)行分析．