Question

1．已知圓N的圓心在直線l：3x-4y+7=0，且圓N與y軸切于點(diǎn)（0，4）．
（1）直線l₁∥l，且與圓N相切，求直線l₁的方程；
（2）若過點(diǎn)D（3，6）的直線l₂被圓N所截的弦長為$4\sqrt{2}$，求直線l₂的斜率．

Answer 1

分析 （1）求出圓心坐標(biāo)、圓的半徑，利用直線l₁∥l，且與圓N相切，求直線l₁的方程；
（2）若過點(diǎn)D（3，6）的直線l₂被圓N所截的弦長為$4\sqrt{2}$，得${（2\sqrt{2}）^2}={r^2}-{d^2}$，即可求直線l₂的斜率．

解答 解：（1）∵圓N與y軸切于點(diǎn)（0，4），
∴圓心N的坐標(biāo)為直線y=4與直線3x-4y+7=0的交點(diǎn)坐標(biāo)，
由$\left\{\begin{array}{l}y=4\\ 3x-4y+7=0\end{array}\right.$，得圓心N的坐標(biāo)為（3，4），
則圓N的半徑為3-0=3，
設(shè)直線l₁的方程為3x-4y+b=0，
則$\frac{{|{b-7}|}}{5}=3$，解得b=-8或22，
∴直線l₁的方程為：3x-4y-8=0或3x-4y+22=0．
（2）設(shè)直線l₂：y-6=k（x-3），
由（1）得圓N的方程為（x-3）²+（y-4）²=9．
圓心N到直線l₂的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，直線l₂被圓N所截的弦長為$4\sqrt{2}$，
得${（2\sqrt{2}）^2}={r^2}-{d^2}$，化簡得1+k²=4，即$k=±\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查方程思想，屬于中檔題．