Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x+1（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極大值和極小值．
（Ⅱ）若x∈[a+1，a+2]時(shí)，恒有f′（x）＞-3a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判定函數(shù)當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）的變化情況，f'（x）＞0求得單調(diào)增區(qū)間，f'（x）＜0求得單調(diào)減區(qū)間，f'（x）的變化情況研究出函數(shù)的極值；
（Ⅱ）研究x∈[a+1，a+2]時(shí)，恒有f'（x）＞-3a成立的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化成f'（x）的最小值大于-3a成立．

解答 解：（Ⅰ）令f'（x）=x²-2ax-3a²=0，得x=-a或x=3a，
則當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與f'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，3a）	3a	（3a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	$\frac{5}{3}$a3+1	遞減	-9a3+1	遞增

可知：當(dāng)x∈（-∞，-a）時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（3a，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）也為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（-a，3a）時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x=-a時(shí)，f（x）的極大值為$\frac{5}{3}$a³+1；
當(dāng)x=3a時(shí)，f（x）的極小值為-9a³+1．
（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=x²-2ax-3a²的對(duì)稱(chēng)軸為x=a，
且其圖象的開(kāi)口向上，
所以f'（x）在區(qū)間[a+1，a+2]上是增函數(shù)，
則在區(qū)間[a+1，a+2]上恒有f'（x）＞-3a
等價(jià)于f'（x）的最小值大于-3a成立．
所以f'（a+1）=（a+1）²-2a（a+1）-3a²=-4a²+1＞-3a，
解得：-$\frac{1}{4}$＜a＜1：，又a＞0，
故a的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及恒成立問(wèn)題．