Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于A點(diǎn)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B，始邊不動(dòng)，終邊在運(yùn)動(dòng)．
（1）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，求tanα的值；
（2）若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合；
（3）若，請(qǐng)寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得B（，），根據(jù)三角函數(shù)的定義得；
（2）同理可得B的坐標(biāo)，注意兩種情況，然后由三角函數(shù)的定義可得；
（3）把弓形轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積之差，由導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得值域．
解答：解：（1）由題意可得B（，），根據(jù)三角函數(shù)的定義得：tanα==-；
（2）若△AOB為等邊三角形，則B（，）或（，）
可得tan∠AOB==或，故∠AOB=，或；
故與角α終邊相同的角β的集合為：{β|β=，k∈Z}∪{β|β=，k∈Z}；
（3）若，則S_扇形=αr²=，而S_△AOB=×1×1×sinα=sinα，
故弓形的面積S=S_扇形-S_△AOB=-sinα，，
求導(dǎo)數(shù)可得S′==（1-cosα）＞0，故S在區(qū)間上單調(diào)遞增，
S（0）=0，S（）=，
故函數(shù)的值域?yàn)椋篬0，]
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的定義和扇形的面積公式，屬基礎(chǔ)題．