Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+2lnx-1，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=1時(shí)，f′（x）=

2x-1

x2

，從而確定f（x）在（0，

1

2

）遞減，在（

1

2

，+∞）遞增，
（Ⅱ）分別討論①a≤0時(shí)，②0＜a＜2e時(shí)，③a≥2e時(shí)的情況，從而求出最小值．

解答： 解：∵f′（x）=

2x-a

x2

，
（Ⅰ）a=1時(shí)，f′（x）=

2x-1

x2

，
令f′（x）＞0，解得：x＞

1

2

，
令f′x）＜0，解得：0＜x＜

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

）遞減，在（

1

2

，+∞）遞增，
（Ⅱ）①a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
∴f（x）在（0，e）無最小值，
②0＜a＜2e時(shí)，
由（Ⅰ）得：
f（x）_min=f（

a

2

）=1+2ln

a

2

，
③a≥2e時(shí)，
由（Ⅰ）得：
f（x）_min=f（e）=

a

e

+1．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．