如圖在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=
3
,點(diǎn)F是PD中點(diǎn),點(diǎn)E是DC邊上的任意一點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)時(shí),判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;
(Ⅱ)證明:無(wú)論點(diǎn)E在DC邊的何處,都有AF⊥FE;
(Ⅲ)求三棱錐B-AFE的體積.
考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,直線與平面垂直的性質(zhì)
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)利用三角形的中位線及線面平行的判定定理解決;
(Ⅱ)通過證明AF⊥平面PCD即可解決;
(Ⅲ)利用換底法求VF-ABE即可.
解答: (Ⅰ)解:當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí),EF與平面PAC平行.
∵在△PBC中,E、F分別為BC、PB的中點(diǎn),
∴EF∥PC,又EF?平面PAC,而PC?平面PAC,
∴EF∥平面PAC;

(Ⅱ)證明:∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD
∵AD∩AP=A,
∴CD⊥平面PAD,
又AF?平面PAB,
∴AF⊥CD.
又PA=AD,點(diǎn)F是PD的中點(diǎn),
∴AF⊥PD,
又∵CD∩PD=D,
∴AF⊥平面PCD.
∵EF?平面PCD,∴AF⊥EF;

(Ⅲ)解:作FG∥PA交AD于G,則FG⊥平面ABCD,且FG=
1
2
,
VB-AFE=VF-ABE=
1
3
S△ABEFG=
3
12
,
∴三棱錐B-AFE的體積為
3
12
點(diǎn)評(píng):無(wú)論是線面平行(垂直)還是面面平行(垂直),都源自于線與線的平行(垂直),這種“高維”向“低維”轉(zhuǎn)化的思想方法,在解題時(shí)非常重要,在處理實(shí)際問題的過程中,可以先從題設(shè)條件入手,分析已有的平行(垂直)關(guān)系,再?gòu)慕Y(jié)論入手分析所要證明的平行(垂直)關(guān)系,從而架起已知與未知之間的橋梁.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
AC
,
AD
AB
在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若
AC
AB
AD
,則λ+μ=( 。
A、2B、-2C、3D、-3

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如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上除A、B外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),DC⊥平面ABC,DC∥BE,CD=BE,AB=4,tan∠EAB=
1
4

(1)證明:平面ADE⊥平面ACD;
(2)試探究當(dāng)C在什么位置時(shí)三棱錐C-ADE的體積取得最大值,請(qǐng)說明理由并求出這個(gè)最大值.

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求函數(shù)y=-2x+
x
+1的最大值和最小值.

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如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F(xiàn)分別為AA1,CC1,AB的中點(diǎn),M為BE的中點(diǎn).求證:C1D∥平面B1FM.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a∈R),且函數(shù)f(x)的最小值為a.
(1)已知b∈R,設(shè)af(x)+bx>0,且{x|0≤x≤2}⊆P,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;      
(2)設(shè)n∈N,證明
 
 
(
k
n
)n
e
e-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a
x
+2lnx-1,a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為為
2
2
.點(diǎn)P在橢圓E上,且△PF1F2的周長(zhǎng)為4
2
+4.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=x+m與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

求證:(1+1)(1+
1
3
)(1+
1
5
)…(1+
1
2n-1
)>
2n+1

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