Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-ax+3a}}$在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（-4，4]．

Answer 1

分析 f（x）為復(fù)合函數(shù)，并且可以找出是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性從而可得出函數(shù)s=x²-ax+3a在[2，+∞）上單調(diào)遞增，且s＞0在[2，+∞）上恒成立，從而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{4-2a+3a＞0}\end{array}\right.$，解該不等式組即可得出a的取值范圍．

解答 解：令$\sqrt{{x}^{2}-ax+3a}=t$，則函數(shù)f（x）是由y=$\frac{1}{t}$，和t=$\sqrt{{x}^{2}-ax+3a}$復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)；
$y=\frac{1}{t}$是減函數(shù)；
∴$t=\sqrt{{x}^{2}-ax+3a}$在[2，+∞）為增函數(shù)；
設(shè)s=x²-ax+3a，則$t=\sqrt{{x}^{2}-ax+3a}$是由t=$\sqrt{s}$和s=x²-ax+3a復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)；
$t=\sqrt{s}$為增函數(shù)；
∴s=x²-ax+3a在[2，+∞）上為增函數(shù)，設(shè)s=g（x），則g（2）＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{4-2a+3a＞0}\end{array}\right.$；
∴-4＜a≤4；
∴a的取值范圍為：（-4，4]．
故答案為：（-4，4]．

點評 考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，反比例函數(shù)及函數(shù)$y=\sqrt{x}$的單調(diào)性，對于復(fù)合函數(shù)要找出是由哪些函數(shù)復(fù)合而成，以及二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性定義的運用．