Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，x∈（0，+∞），a∈R）
（1）談?wù)摵瘮?shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)
（2）設(shè)g（x）=mx-1（m＞0），在a=1時(shí)，求方程f（x）-g（x）=0的解的個(gè)數(shù)
（3）求證：（1+$\frac{3}{2×4}$）（1+$\frac{9}{4×10}$）（1+$\frac{27}{10×28}$）…[1+$\frac{{3}^{n}}{{{（3}^{n-1}+1）（3}^{n}+1）}$＜${e}^{\frac{3}{4}}$，（其中n∈N^*，e是自然對(duì)數(shù)的底）

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）令h（x）=lnx+2-（m+1）x，h′（x）=$\frac{1}{x}$-（m+1），求得最大值，討論最大值為0，小于0，大于0，即可得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）首先證明ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用裂項(xiàng)法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可證結(jié)論

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-ax+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增，無極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，x＞$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{a}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
f（x）在x=$\frac{1}{a}$處取得極大值，無極小值，則極值點(diǎn)為1個(gè)，
綜上可得a＞0，f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)；a≤0時(shí)，f（x）無極值點(diǎn)．
（2）方程f（x）-g（x）=0，即為lnx+2-（m+1）x=0，
令h（x）=lnx+2-（m+1）x，h′（x）=$\frac{1}{x}$-（m+1），
由m＞0，則可得x=$\frac{1}{m+1}$處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，
h（x）取得極大值，也為最大值，且為1-ln（m+1），
若1-ln（1+m）＜0，即有m＞e-1，方程f（x）-g（x）=0的解的個(gè)數(shù)為0；
若1-ln（1+m）=0，即有m=e-1，方程f（x）-g（x）=0的解的個(gè)數(shù)為1；
若1-ln（1+m）＞0，即有0＜m＜e-1，方程f（x）-g（x）=0的解的個(gè)數(shù)為2．
（3）證明：令m（x）=ln（x+1）-x，x＞0，
m′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$，當(dāng)x＞0時(shí)，m′（x）＜0，m（x）遞減，
即有m（x）≤m（0）=0，
即ln（1+x）≤x．
令x=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}$，則ln（1+$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}$）＜$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{3}^{n}+1}$），
即有l(wèi)n（1+$\frac{3}{2×4}$）+ln（1+$\frac{9}{4×10}$）+ln（1+$\frac{27}{10×28}$）+…+ln[1+$\frac{{3}^{n}}{{{（3}^{n-1}+1）（3}^{n}+1）}$
＜$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{28}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{3}^{n}+1}$）=$\frac{3}{2}$（-$\frac{1}{{3}^{n}+1}$）＜$\frac{3}{4}$．
則有（1+$\frac{3}{2×4}$）（1+$\frac{9}{4×10}$）（1+$\frac{27}{10×28}$）•…•[1+$\frac{{3}^{n}}{{{（3}^{n-1}+1）（3}^{n}+1）}$＜${e}^{\frac{3}{4}}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．