Question

5．如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB的邊長為6的等邊三角形，∠BAC=90°，AC=6，D、E分別為PB、BC中點，點F為線段AC上一點，且滿足AD∥平面PEF．
（1）求$\frac{AF}{FC}$的值；
（2）求二面角A-PF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接CD交PE于G，過G作GF∥AD，交AC于點F，利用重心的性質進行求解即可；
（2）求平面的法向量，利用向量法即可求二面角A-PF-E的余弦值．

解答 解：（1）連接CD交PE于G，過G作GF∥AD，交AC于點F，則AD∥平面PEF，
∵G為三角形PBC的重心，∴$\frac{CG}{GD}$=2，
又GF∥AD，∴$\frac{AF}{FC}=\frac{DG}{CG}$=$\frac{1}{2}$．

（2）∵△PAB的邊長為6的等邊三角形，∴取AB的中點0，連接PO，
則PO⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，
∵E是BC的中點，
∴OE∥AC，
∵∠BAC=90°，
∴OE⊥AB，
以O為坐標原點，以OB，OE，OP分別為x，y，z軸，建立空間坐標系如圖：
∵AC=6，△PAB的邊長為6的等邊三角形，
∴OB=OA=3，OP=$3\sqrt{3}$，OE=3，
則A（-3，0，0），E（0，3，0），F(xiàn)（-3，2，0），P（0，0，$3\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{PA}$=（-3，0，-$3\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AF}$=（0，2，0），$\overrightarrow{EF}$=（-3，-1，0）
$\overrightarrow{PE}$=（0，3，-$3\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PF}$=（-3，2，-$3\sqrt{3}$），
設平面PEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{3y-3\sqrt{3}z=0}\\{-3x-y=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{3}$，則y=3，x=-1，
則平面PEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（-1，3，$\sqrt{3}$），
設平面APF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2y-3\sqrt{3}z=0}\\{-3x-3\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{3}$，則x=-3，y=0，
即$\overrightarrow{m}$=（-3，0，$\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{3+\sqrt{3}×\sqrt{3}}{\sqrt{（-3）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（-1）^{2}+{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$-\frac{\sqrt{39}}{13}$
由圖象知二面角A-PF-E為銳二面角，
則二面角A-PF-E的余弦值為$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

點評 本題主要考查向量的應用，建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決二面角的基本方法，考查學生的運算和推理能力．