(1)已知:an=sin(2n-1)α,求Sn
(2)已知:a1=1,an+1=2an+n,求{an}.
(3)已知:a=x+y,b=y+z,ab=(x+y)(y+z)=1,求x+2y+z的最小值.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,二維形式的柯西不等式
專(zhuān)題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用“積化和差”、倍角公式即可得出.
(2)an+1=2an+n,當(dāng)n≥2時(shí),an=2an-1+(n-1),可得an+1-an=2(an-an-1)+1,令bn=an+1-an,則bn=2bn-1+1,化為bn+1=2(bn-1+1),
利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn+1=3×2n-1,可得an+1-an=3×2n-1-1,再利用“累加求和”即可得出.
(3)利用基本不等式的性質(zhì)可得x+2y+z=a+b≥2
ab
,即可得出.
解答: 解:(1)∵a1=sinα,a2=sin3α,…,an=sin(2n-1)α,
∴Sn=a1+a2+…+an=
2sin2θ+2sin3θsinθ+…+2sin(2n-1)θsinθ
2sinθ
=
(1-cos2θ)+(cos2θ-cos4θ)+…+(cos(2n-2θ)-cos2nθ)
2sinθ

=
1-cos2nθ
2sinθ
=
sin2(nθ)
sinθ

(2)∵an+1=2an+n,當(dāng)n≥2時(shí),an=2an-1+(n-1),∴an+1-an=2(an-an-1)+1,
令bn=an+1-an,則bn=2bn-1+1,化為bn+1=2(bn-1+1),
∵a2=2a1+1=3,
∴b1+1=a2-a1+1=3-1+1=3,
∴數(shù)列{bn+1}是等比數(shù)列,
bn+1=3×2n-1,
bn=3×2n-1-1
∴an+1-an=3×2n-1-1,
∴當(dāng)n≥2時(shí),
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2
=
2n-1-1
2-1
-(n-1)
=3×2n-1-n-2.
an=
2n-1-n-2,n≥2
1,n=1

(3)∵a=x+y>0,b=y+z>0,ab=(x+y)(y+z)=1,
∴x+2y+z=a+b≥2
ab
=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào),
∴x+2y+z的最小值是2.
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角函數(shù)的“積化和差”、倍角公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“累加求和”、基本不等式的性質(zhì)、“累乘求積”方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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過(guò)雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)F作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),若垂足是恰在線(xiàn)段OF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的垂直平分線(xiàn)上,則雙曲線(xiàn)的離心率為( 。
A、2
B、
2
C、
2
2
D、
6
2

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函數(shù)y=sin2x+2cosx在區(qū)間[-
3
,θ]上的最小值為-
1
4
,則θ的取值范圍是
 

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如圖,已知直角三角形ACB中,∠C=90°,D為AC上一點(diǎn),且
AD
=2
DC
,∠ABD=30°,則cos∠ADB=( 。
A、-
2
2
B、-
1
2
C、-
3
2
D、-
2
5

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函數(shù)y=lgx在x=1處的切線(xiàn)方程為(  )
A、y=(lge)(x-1)
B、y=(ln10)(x-1)
C、y=x
D、y=0

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三角形ABC中,b=5,c=3且滿(mǎn)足sin22A-sin2AsinA+cos2A=1,求cos(B-C)

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若方程
x2-1
=2x+m有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A、[-
3
,0})∪[2,+∞)
B、[-
3
,0)∪(0,
3
]
C、(-∞,-
3
]∪[2,+∞)
D、(-∞,-2]∪[2,+∞)

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已知函數(shù)f(x)=x2-1,g(x)=x+1.
(1)若當(dāng)x∈R時(shí),不等式f(x)≥λg(x)恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍;
(2)求函數(shù)h(x)=|f(x)|+λ|g(x)|在區(qū)間x∈[-2,0]上的最大值.

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