Question

已知函數(shù)f(

1

x

)=

2x2+x+a

x

，其中x∈（0，1]
（Ⅰ）當a=

1

2

時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在定義域內(nèi)，f（x）＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先利用換元法求其函數(shù)的解析式f（x）=ax+

2

x

+1，定義域為x∈[1，+∞），
（Ⅰ）把a的值代入解析式中，化簡成“對號”函數(shù)的形式f(x)=x+

a

x

(a＞0)，可以直接利用結論：
 f(x)在(-∞，-

a

)；(

a

，+∞)單調(diào)遞增，在(-

a

，0)；(0，+

a

)單調(diào)遞減，可以求出最小值，也可以用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，然后求其最值即可．
（Ⅱ）先化簡不等式，f（x）＞0，再由分式不等式等價轉化整式不等式ax²+x+2＞0恒成立，然后采用分離常數(shù)法求實數(shù)a的取值范圍即可．

解答：解：由題意知
∵f(

1

x

)=

2x2+x+a

x

，x∈（0，1]
設t=

1

x

∈[1，+∞），可求得函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=ax+

2

x

+1定義域為x∈[1，+∞） 
（Ⅰ）當a=

1

2

時，f（x）=

1

2

(x+

4

x

)+1x∈[1，+∞） 
 用定義證明f（x）的單調(diào)性如下：
設1≤x₁＜x₂≤2，則f（x₁）-f（x₂）=

1

2

(x1+

4

x1

)-

1

2

( x2 +

4

x2

)=

1

2

(x1-x2)(1-

4

x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂≤2
∴f（x₁）-f（x_{2 ^）＞0}
故f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減．同理可證f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x）的最小值為f（2）=3．
（Ⅱ）∵x∈[1，+∞），f（x）=ax+

2

x

+1=

ax2+x+2

x

＞0恒成立
∴等價于當x∈[1，+∞），ax²+x+2＞0恒成立即可
∴a＞

-x-2

x2

在x∈[1，+∞）恒成立    又

1

x

∈（0，1]
令g（x）=

-x-2

x2

=-2（

1

x

）²-

1

x

=-2（

1

x

+

1

4

）²+

1

8

即g（x）∈[-3，0）
∴a≥0
故a的取值范圍[0，+∞）．

點評：本題對學生的程度要求比較高，有一定的難度，主要考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，及不等式的等價轉化思想．