Question

19．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3$\sqrt{3}$，BC=3．沿對角線將△BCD折起，使點C移到C點，且C點在平面ABD的射影O恰在AB上．
（1）求證：BC⊥平面ACD；
（2）求直線AB與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出DA⊥BC，BC⊥DC，由此能證明BC⊥平面ACD．
（2）作AM⊥DC于M，由已知條件推導出∠ABM是AB與平面BCD所成的角，由此能求出直線AB與平面BCD所成角的正弦值．

解答 （1）證明：∵在矩形ABCD中，DA⊥AB，
DA?平面ABD，AB是BC在平面ABD內的射影，
∴DA⊥BC，BC⊥DC，
又DA∩DC=D，∴BC⊥平面ACD．
（2）解：作AM⊥DC于M，連接BM，
BC⊥CA，AM∩AC=A，∴BC⊥平面ADC，
BC?平面SDC，∴平面ADC⊥平面BDC，
又AM⊥DC，DC=平面ADC∩平面BDC，
所以AM⊥平面BCD，
所以∠ABM是AB與平面BCD所成的角，
在Rt△DAC中，AM•DC=AD•AC，AM=$\frac{AD•AC}{DC}$=$\frac{3•3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$=$\sqrt{6}$，
在Rt△ABM中，sin∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直線AB與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．