Question

6．拋物線y²=2px（p＞0）焦點為F，在x軸上F的右側有一點A，以FA為直徑作圓C，圓C與拋物線x軸上方部分交于M，N兩點；設圓C半徑為R，證明$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$為定值；根據(jù)類比推理，橢圓也具有此性質，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)為左焦點，求$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$值（結果用離心率e表示）

Answer 1

分析 設圓C的圓心坐標為C（$\frac{p}{2}$+R，0），圓C的方程為：（x-$\frac{p}{2}$-R）²+y²=R²，與拋物線方程聯(lián)立，得x²-（2R-P）x+$\frac{p^2}{4}$+PR=0，利用韋達定理可得$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$=2；同理，類比可得橢圓中，$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$=$\frac{2}{e}$．

解答 解：依題意，圓C的圓心坐標為C（$\frac{p}{2}$+R，0），圓C的方程為：（x-$\frac{p}{2}$-R）²+y²=R²，
與拋物線的方程y²=2px（p＞0）聯(lián)解得x²-（2R-P）x+$\frac{p^2}{4}$+PR=0，
設 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
有 x₁+x₂=2R-P，所以|MF|+|NF|=x₁+x₂+P=2R，
從而$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$=2；
橢圓：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），圓C：（x-R+c）²+y²=R²，
聯(lián)立解得e²x²+2（c-R）x+a²-2RC=0，
設 M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x₁+x₂=$\frac{2R-2c}{e^2}$，
因為|MF|=$\sqrt{（{x_1}+c{）^2}+{y_1}^2}$=$\sqrt{{e^2}{x_1}^2+2c{x_1}+{a^2}}$=a+ex₁，
同理|NF|=a+ex₂，
所以|MF|+|NF|=e（ x₁+x₂）+2a=$\frac{2R}{e}$，
從而$\frac{{|{FM}|+|{FN}|}}{R}$=$\frac{2}{e}$．

點評 本題考查拋物線的性質與橢圓的性質的應用，考查類比思想與韋達定理的應用，考查橢圓的定義的應用，屬于難題．