Question

（2008•臨沂二模）設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，線段F₁F₂被點(diǎn)(

b

2

，0)分成3：1的兩段，則此橢圓的離心率為

2

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），由線段F₁F₂被點(diǎn)(

b

2

，0)分成3：1的兩段建立關(guān)于b、c的等式，解出b=c，再由平方關(guān)系算出a=

2

c，可得此橢圓的離心率．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∴c=

a2-b2

，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∵線段F₁F₂被點(diǎn)(

b

2

，0)分成3：1的兩段，
∴

b

2

+c=3（c-

b

2

），解之得b=c，
即

a2-c2

=c，解之得a=

2

c，可得此橢圓的離心率為e=

2

2

故答案為：

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的焦距被定點(diǎn)分成了3：1的兩段，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．