Question

標準正態(tài)總體的函數為f（x）=

1

2π

e -

x2

2

，x∈（-∞，+∞）
（1）證明f（x）是偶函數；
（2）求f（x）的最大值；
（3）利用指數函數的性質說明f（x）的增減性．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用定義法求得f（-x）=f（x）證明函數為偶函數．
（2）利用復合函數的單調性求得函數的最大值．
（3）利用復合函數同增異減的原則求得函數的單調區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

1

2π

e

(-x)2

2

=f（x），
∴f（x）為偶函數．
（2）當x=0時，-

x2

2

有最大值
∴f（x）max=

1

2π

．
（3）

t=- x2 2 y= 1 2π e-t

，由復合函數的單調得，在區(qū)間（-∞，0）上函數f（x）單調增，在區(qū)間[0，+∞）上單調減．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的應用，復合函數的單調性問題．應熟練應用同增異減的原則來判斷函數的單調性．