Question

已知圓M經(jīng)過第一象限，與y軸相切于點(diǎn)O（0，0），且圓M上的點(diǎn)到x軸的最大距離為2，過點(diǎn)P（0，-1）作直線l．
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線l與圓M相切時，求直線l的方程；
（3）當(dāng)直線l與圓M相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足向量

PA

=λ

PB

，λ∈[2，+∞）時，求|AB|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）先確定圓M的圓心在x的正半軸上，由圓M上的點(diǎn)到x軸的最大距離為2，得知圓M的圓心為（2，0），半徑為2，即可得到圓的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為kx-y-1=0，由相切的條件得d=r，求出k，注意k不存在的情況也成立；
（3）設(shè)直線l的方程為kx-y-1=0，聯(lián)立圓的方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)關(guān)系，消去x₁，x₂，得到k和λ的關(guān)系式，由λ的范圍，得到

4k+3

k2+1

≥

1

8

，再由弦長公式，即可得到所求范圍．

解答： 解：（1）因為圓M經(jīng)過第一象限，與y軸相切于點(diǎn)O（0，0），得知圓M的圓心在x的正半軸上；
由圓M上的點(diǎn)到x軸的最大距離為2，得知圓M的圓心為（2，0），半徑為2．
所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=4．
（2）若直線l的斜率存在，設(shè)l的斜率為k，則直線l的方程為kx-y-1=0，
因為直線l與圓M相切，所以圓心M到直線l的距離等于半徑得

|2k-1|

k2+1

=2，
解得k=-

3

4

，直線l的方程：3x+4y+4=0；
若直線l的斜率不存在，由直線l與圓M相切得直線l的方程：x=0，
所以，直線l的方程為x=0或3x+4y+4=0．
（3）由直線l與圓M相交于A、B兩點(diǎn)知，直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的斜率為k，點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則直線l的方程為kx-y-1=0，
由

(x-2)2+y2=4 kx-y+1=0

得（k²+1）x²-（2k+4）x+1=0，△=16k+12＞0，
即k＞-

3

4

，x1+x2=

2k+4

k2+1

，x1•x2=

1

k2+1

，
由向量

PA

=λ

PB

⇒(x1，y1+1)=λ(x2，y2+1)，得x₁=λx₂，
由x1+x2=

2k+4

k2+1

，x1•x2=

1

k2+1

，
x₁=λx₂消去x₁、x₂得

λ

(λ+1)2

•(

2k+4

k2+1

)2=

1

k2+1

，
即4+4•

4k+3

k2+1

=

(λ+1)2

λ

=λ+

1

λ

+2≥

9

2

，λ∈[2，+∞），
化簡得

4k+3

k2+1

≥

1

8

．
|AB|=2

4- (2k-1)2 k2+1

=2

4k+3 k2+1

≥2

1 8

=

2

2

且|AB|≤2R=4，即|AB|∈[

2

2

，4]．
所以|AB|的取值范圍是[

2

2

，4]．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系：相切和相交，考查相切的條件：d=r以及聯(lián)立直線和圓的方程，運(yùn)用判別式為0，和直線和圓相交的弦長，同時考查平面向量的共線知識，屬于中檔題．