Question

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形， AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2．

(Ⅰ) 求異面直線EF與BC所成角的大��；

(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 30°(Ⅱ)

【解析】

試題分析： (Ⅰ) 延長(zhǎng)AD，F(xiàn)E交于Q．

因?yàn)锳BCD是矩形，所以

BC∥AD，

所以∠AQF是異面直線EF與BC所成的角．

在梯形ADEF中，因?yàn)镈E∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得

∠AQF＝30°．即異面直線EF與BC所成角的大小為30°.                   7分

(Ⅱ) 方法一：

設(shè)AB＝x．取AF的中點(diǎn)G．由題意得DG⊥AF．

因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，

所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．

過G作GH⊥BF，垂足為H，連結(jié)DH，則DH⊥BF，

所以∠DHG為二面角A－BF－D的平面角．

在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．

在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，

所以GH＝．

在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．

因?yàn)閏os∠DHG＝＝，得x＝，

所以AB＝．                            15分

方法二：設(shè)AB＝x．

以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．則

F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，

所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因?yàn)镋F⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

設(shè)＝(x₁，y₁，z₁)為平面BFD的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．

因?yàn)閏os<，>＝＝，得x＝，

所以AB＝．                         15分

考點(diǎn)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，異面直線所成角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。

點(diǎn)評(píng)：如何用傳統(tǒng)的方法求解此類問題，要緊扣相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理，還要注意各類角的取值范圍；如果用空間向量求解，思路比較簡(jiǎn)單，但是運(yùn)算比較復(fù)雜，要仔細(xì)運(yùn)算.