Question

如圖，BC是過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且垂直于對(duì)稱軸的一條弦，以BC為下底在左側(cè)截取一個(gè)等腰梯形ABCD（|AD|＜|BC|），則所截等腰梯形面積的最大值為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）（x＞0），由點(diǎn)D在橢圓上知 x2+

y2

4

=1（y≥0），得y²=4（1-x²），用x，y表示出等腰梯形ABCD的面積為 S=

1

2

(|AD|+|BC|)|y|=

1

2

(2x+2)•y=(x+1)•y，將y²=4（1-x²）代入得S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1），利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)的最值

解答：解：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）（x＞0），由點(diǎn)D在橢圓上知 x2+

y2

4

=1（y≥0），
得y²=4（1-x²）
∴等腰梯形ABCD的面積為 S=

1

2

(|AD|+|BC|)|y|=

1

2

(2x+2)•y=(x+1)•y（2分）
∴S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1）
=-4x⁴-8x³+8x+4（0＜x＜1）
（S²）'=4（-4x³-6x²+2），
令（S²）'=0，
得2x³+3x²-1=0，即（x+1）²（2x-1）=0，
∵0＜x＜1，∴x=

1

2

，（6分）
又當(dāng) 0＜x＜

1

2

時(shí)，（S²）'＞0；當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，（S²）'＜0，
∴在區(qū)間（0，1）上，S²有唯一的極大值點(diǎn) x=

1

2

，（8分）
∴當(dāng) x=

1

2

時(shí)，S²有最大值為

27

4

；
即當(dāng) x=

1

2

時(shí)，S有最大值為

3 3

2

．       （10分）
因此只需分別作OC，OB的中垂線與上半橢圓交于D，A，這樣的等腰梯形的面積最大．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的方程消元，將面積表示成x的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的最值，此題運(yùn)算量很大，解題時(shí)極易因運(yùn)算出錯(cuò)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．