Question

已知函數(shù)f（x）=

1

a

x²+lnx（其中a≠0）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＜-

1

2

恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，得到f（x）在（0，+∞）上遞增，當(dāng)a＜0時(shí)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0求出遞減區(qū)間．
（2）利用（1）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的極值，進(jìn)一步求出函數(shù)的最值，得到參數(shù)a的范圍．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

1

a

x²+lnx，
則f′(x)=

2

a

x+

1

x

=

2x2+a

ax

(x＞0)…（2分）
①當(dāng)a＞0時(shí)f′（x）＞0在x∈（0，+∞）恒成立，

②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，x=

-2a

2

x∈(0，

-2a

2

)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）  為增函數(shù)，
x∈(

-2a

2

，+∞)時(shí)，f′（x）＜0，f（x） 為減函數(shù)
綜上，a＞0 時(shí)，f（x） 增區(qū)間為（0，+∞）…（4分）
a＜0 時(shí)，f（x）的增區(qū)間為(0，

-2a

2

)，減區(qū)間(

-2a

2

，+∞)…（6分）
（2）由（1）知a＞0 時(shí)，在f（x）在（0，+∞）遞增，
且x=1時(shí)，f（1）

1

a

＞0，
則f(1)＞-

1

2

∴f(x)＜-

1

2

不恒成立，
故a＜0 …（8分）
又f（x）的極大值即f（x）最大f(

-2a

2

)=

1

a

(

-2a

2

)2+ln

-2a

2

因?yàn)?span id="6wscoyb" class="MathJye">f(x)＜-

1

2

只須f(x)max＜-

1

2

…（10分）
∴ln

-2a

2

＜0，即0＜

-2a

2

＜ 1，
∴-2＜a＜0
即a的取值范圍是（-2，0）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的在區(qū)間上的最值，應(yīng)該先求出導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，同時(shí)求出函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)值，選出最值．