Question

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為

3 2

2

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點P（x₀，y₀）為直線l上一動點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，求直線AB的方程，并證明直線AB過定點Q；
（Ⅲ）過（Ⅱ）中的點Q的直線m交拋物線C于A，B兩點，過點A，B分別作拋物線C的切線l₁，l₂，求l₁，l₂交點M滿足的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

|0-c-2|

2

=

3 2

2

，由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，x₀-2），設(shè)切點為（x，

x2

4

），曲線C：y=

x2

4

，y′=

x

2

，從而x²-2x₀x+4x₀-8=0，由此能求出直線AB為x₀x-2y-2y₀=0，并能證明直線AB過定點Q（2，2）．
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，

x12

4

），B（x2，

x22

4

），從而求出交點M（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）設(shè)過Q點的直線為y=k（x-2）+2聯(lián)立

y=k(x-2)+2 x2=4y

，得x²-4kx+8k-8=0，由此能求出點M滿足的軌跡方程為x-y-2=0．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線C的焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為

3 2

2

，
∴

|0-c-2|

2

=

3 2

2

，
解得c=1或c=-5，（舍），
∴拋物線C的方程為x²=4y．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，x₀-2），設(shè)切點為（x，

x2

4

），曲線C：y=

x2

4

，y′=

x

2

，
則切線的斜率為

x2 4 -(x0-2)

x-x0

=y′=

x

2

，
化簡，得x²-2x₀x+4x₀-8=0，
設(shè)A（x₁，

x12

4

），B（x2，

x22

4

），則x₁，x₂是以上方程的兩根，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4x₀-8，
k_AB=

x12 4 - x22 4

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

，
直線AB為：y-

x12

4

=

x1+x2

4

(x-x1)，
化簡，得：x₀x-2y-2y₀=0，定點Q（2，2）．
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，

x12

4

），B（x2，

x22

4

），
過A的切線y=

x1

2

（x-x₁）+

x12

4

，
過B的切線y=

x2

2

（x-x₂）+

x22

4

，
交點M（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）
設(shè)過Q點的直線為y=k（x-2）+2
聯(lián)立

y=k(x-2)+2 x2=4y

，得x²-4kx+8k-8=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-2，
∴M（2k，2k-2），
∴y=x-2．
∴點M滿足的軌跡方程為x-y-2=0．

點評：本題考查拋物線C的方程的求法，考查直線AB的方程的求法，考查直線AB過定點Q的證明，考查兩切線交點M滿足的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．