Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC為直徑的圓O交AC于點(diǎn)D，設(shè)E為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：直線DE為圓O的切線；
（2）設(shè)CE交圓O于點(diǎn)F，求證：CD•CA=CF•CE．

Answer 1

分析：（1）連接BD，OD，OE，利用BC是⊙O的直徑，可得∠BDC=∠BDA=90°，利用直徑三角形的斜邊中線的性質(zhì)可得DE=

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AB=BE，于是得到OD²+DE²=OB²+BE²=OE²，利用勾股定理的逆定理可得∠ODE=90°．再利用切線的判定定理即可證明直線DE為圓O的切線；
（2）連接BF，利用BC為⊙O的直徑，可得BF⊥CE；在RT△BCE中，利用射影定理可得CF•CE=BC²；同理在RT△ABC中，CD•CA=BC²，即可證明．

解答：證明：（1）連接BD，OD，OE，則∠BDC=∠BDA=90°，
∵E為AB的中點(diǎn)，∴DE=

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AB=BE，
∴OD²+DE²=OB²+BE²=OE²，∴∠ODE=90°．
∴直線DE為圓O的切線；
（2）連接BF，∵BC為⊙O的直徑，∴BF⊥CE，
∴在RT△BCE中，CF•CE=BC²，
同理在RT△ABC中，CD•CA=BC²，
∴CD•CA=CF•CB．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握圓的性質(zhì)、切線的判定定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、射影定理、勾股定理的逆定理等是解題的關(guān)鍵．