Question

5．六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？
（l）甲不站兩端；
（2）甲、乙不相鄰；
（3）甲、乙之間間隔兩人；
（4）甲不站左端，乙不站右端．

Answer 1

分析 （1）根據題意，首先分析甲的情況，易得甲有4種情況，再將剩余的5個人進行全排列，安排在其余5個位置，由分步計數原理計算可得答案；
（2）根據題意，因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔（含兩端）中，由分步計數原理計算可得答案；
（3）根據題意，先把甲乙排好，再從其余的4人中選出2人放到甲乙中間，把排好的這4個人看做一個整體，再與其他的2個人進行排列，由分步計數原理計算可得答案，
（4）根據題意，首先考慮特殊，甲站右端，其他5人全排，甲不站右端，則甲有4種站法，乙有4種站法，其他4人全排，問題得以解決．

解答 解：（1）方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個，有A₄¹種站法，然后其余5人在另外5個位置上作全排列有A₅⁵種站法，根據分步計數原理，共有站A₄¹A₅⁵=480（種）．
方法二：由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余5個人中選 2個人站，有A₅²種站法，然后中間4人有A₄⁴種站法，根據分步計數原理，共有站法A₅²A₄⁴=480（種）．
方法三：若對甲沒有限制條件共有A₆⁶種法，甲在兩端共有2A₅⁵種站法，從總數中減去這兩種情況的排列數，即得所求的站法數，共有A₆⁶-2A₅⁵=480（種）．
（2）因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊，有A₄⁴種；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔（含兩端）中，有A₅²種，故共有站法為A₄⁴A₅²=480（種）．
（3）先把甲乙排好，有A₂²=2種方法，再從其余的4人中選出2人放到甲乙中間，方法有A₄²=12種．
把排好的這4個人看做一個整體，再與其他的2個人進行排列，方法有A₃³=6種．
根據分步計數原理，求得甲、乙之間間隔兩人的排法共有2×12×6=144種
（4）首先考慮特殊，甲站右端，其他5人全排，有A₅⁵=120種，甲不站右端，則甲有4種站法，乙有4種站法，其他4人全排，4×4×A₄⁴=384種，
根據分類計數原理得120+384=504種．

點評 本題主要考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是對于有限制的元素要優(yōu)先排，特殊位置要優(yōu)先排．相鄰的問題用捆綁法，不相鄰的問題用插空法，體現了分類討論的數學思想，是一個中檔題目．