已知函數(shù)f(x)=
m•2x+n
2x+m
(m≠0)是定義在R上的奇函數(shù).
(1)求m,n.
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調性.
(3)解關于t的方程f(logm-n(t2-3t))=
3
5
考點:函數(shù)奇偶性的性質
專題:函數(shù)的性質及應用
分析:(1)由奇函數(shù)的性質得
f(0)=0
(-1)=-f(1)
,代入解析式列出方程組,求出m,n的值;
(2)由(1)求出解析式,再分離常數(shù),利用指數(shù)函數(shù)、復合函數(shù)的單調性進行判斷即可;
(3)由(1)化簡logm-n(t2-3t),再化簡2
log
(t2-3t)
2
,代入方程f(logm-n(t2-3t))=
3
5
化簡,求出t的值并驗證真數(shù)大于零.
解答: 解:(1)因為f(x)是R上的奇函數(shù),
所以
f(0)=0
(-1)=-f(1)
,即
m+n
1+m
=0
m•2-1+n
2-1+m
=-
2m+n
2+m
,
解得m=1,n=-1;
(2)由(1)得,f(x)=
2x-1
2x+1
=
2x+1-2
2x+1
=1-
2
2x+1

所以函數(shù)f(x)在R上單調遞增;
(3)由(1)得,logm-n(t2-3t)=log2(t2-3t),
2
log
(t2-3t)
2
=t2-3t,
所以f(logm-n(t2-3t))=
3
5
為:
t2-3t-1
t2-3t+1
=
3
5
,
化簡得t2-3t-4=0,解得t=-1或4,滿足t2-3t>0,
所以方程的解是t=-1或4.
點評:本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù),指數(shù)函數(shù)和復合函數(shù)的單調性,分離常數(shù)法化簡函數(shù)解析式,以及指數(shù)、對數(shù)的運算,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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( 。
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2
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?

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