Question

5．函數(shù)f（x）滿(mǎn)足?x₁，x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-3，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞3，且f（3）=6
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）解不等式f（a²-3a-9）＜4．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用賦值法，可得x₁=1，x₂=2，以及x₁=x₂=1，代入計(jì)算即可得到所求值；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義，設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，結(jié)合條件，可得f（x₁）＜f（x₂），即可得證；
（3）由（1）可得f（a²-3a-9）＜f（1），再由（2）可得a²-3a-9＜1，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）滿(mǎn)足?x₁，x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-3，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞3，且f（3）=6，
可得f（3）=f（1）+f（2）-3=3f（1）-6=6，
∴f（1）=4．
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞3，f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）
═f（x₁）+f（x₂-x₁）-3-f（x₁）=f（x₂-x₁）-3＞0，
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）所以f（a²-3a-9）＜4．
即f（a²-3a-9）＜f（1），
∵f（x）在R上是增函數(shù)，
∴a²-3a-9＜1，解得-2＜a＜5，
即不等式f（a²-3a-9）＜4的解集為（-2，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法和定義法的運(yùn)用，以及函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．