Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且經(jīng)過點D（1，）．A，B分別是橢圓C的左右頂點，M為橢圓上一點，直線AM，BM分別交橢圓右準(zhǔn)線L于P，Q．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的值
（3）求|PQ|的最小值．

Answer 1

解：（1）橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，
∴==，∴b²= a² ①．
再由橢圓經(jīng)過點D（1，），可得 ，即 ②．
由①②解得 a²=4，b²=3，故橢圓C的方程．
（2）由題意可得 A（-2，0），B（2，0），∵M為橢圓上一點，可設(shè)M（2cosθ，sinθ）．
∵直線AM，BM分別交橢圓右準(zhǔn)線L于P，Q，橢圓右準(zhǔn)線L方程為 x=4，故可設(shè)p（4，y₁），Q（4，y₂）．
由題意可得 A、M、P三點共線，可得 K_AM=K_AP，∴=，∴y₁=3．
再由M、B、P 三點共線，可得 K_BM=K_BQ，∴=，∴y₂=．
∴=（6，3 ），=（2，）．
∴=（6，3 ）•（2，）=12+3•=12+9 =12-9=3，
即 =3．
（3）由（2）|y_p|•|y_q|=9，∴|PQ|=|y_p-y_q |=|y_p|+|y_q|≥2=6，當(dāng)且僅當(dāng)|y_p|=|y_q|時等號成立，
故|PQ|的最小值為6．
分析：（1）根據(jù)橢圓C的離心率求得b²= a² ①，再由橢圓經(jīng)過點P（1，），可得 ②，由①②解得 a²=4，b²=3，從而求得橢圓C的方程．
（2）由題意可得 A（-2，0），B（2，0），設(shè)M（2cosθ，sinθ），設(shè)p（4，y₁），Q（4，y₂），由 K_AM=K_AP，求出y₁，由 K_BM=K_BQ，求出y₂，從而得到=（6，3 ），=（2，），即可由數(shù)量積公式計算 的值．
（3）由（2）可得|y_p|•|y_q|=9，故|PQ|=|y_p-y_q |=|y_p|+|y_q|，利用基本不等式求出它的最小值．
點評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．