Question

斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，由題意可得直線AB的方程為y=x-1，聯(lián)立方程

y=x-1 y2=4x

可得x²-6x+1=0，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，x_A+x_B=6，x_A•x_B=1
（法一）：由拋物線的定義可知，AB=AF+BF=x_A+1+x_B+1，代入可求
（法二）：由弦長公式可得AB=

(1+k2)( xA-xB)2

=

1+k2

•

(xA+xB)2-4xAxB

代入可求

解答：解：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1
∴直線AB的方程為y=x-1
聯(lián)立方程

y=x-1 y2=4x

可得x²-6x+1=0
∴x_A+x_B=6，x_A•x_B=1
（法一）：由拋物線的定義可知，AB=AF+BF=x_A+1+x_B+1=x_A+x_B+2=8
（法二）：由弦長公式可得AB=

(1+k2)( xA-xB)2

=

1+k2

•

(xA+xB)2-4xAxB

=

2(62-4)

=8

點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系：相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，其中法（一）主要體現(xiàn)了拋物線的定義的靈活應(yīng)用．