Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為F2，點(diǎn)F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線m垂直于x軸（垂足為T(mén)），與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P,Q且.

（I）求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)；

（II）若以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn).

①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

②過(guò)點(diǎn)F2作直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)，若的取值范圍.

 

Answer 1

（I）；（II）①，②

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意得，，設(shè)，，由已知得到關(guān)于的一個(gè)方程；又點(diǎn)在拋物線上得方程，聯(lián)立方程解得；（II）①由已知得橢圓的半焦距，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓過(guò)點(diǎn)可得，又即，從而解得，；②容易驗(yàn)證直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，將直線方程代入橢圓方程得，設(shè)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720024272224674/SYS201411172002488474597994_DA/SYS201411172002488474597994_DA.027.png">，所以，且將和平方除以積化簡(jiǎn)得，將所求的模平方通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為關(guān)于k 的函數(shù)，解得。

試題解析：（Ⅰ）由題意得，，設(shè)，，

則，.

由，得即，①

又在拋物線上，則，②

聯(lián)立①、②易得

（Ⅱ）（�。┰O(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則 ③

④

將④代入③，解得或（舍去）

所以

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（ⅱ）方法一：

容易驗(yàn)證直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，

將直線的方程代入中得：

設(shè)，則由根與系數(shù)的關(guān)系，

可得： ⑤

⑥

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720024272224674/SYS201411172002488474597994_DA/SYS201411172002488474597994_DA.027.png">，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以。

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720024272224674/SYS201411172002488474597994_DA/SYS201411172002488474597994_DA.049.png">，所以，

又，所以，

故

，

令，所以 所以，即，

所以.

而，所以.

所以.

方法二：

1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，，

又，所以

2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，即時(shí)，設(shè)直線的方程為

由得

設(shè)，顯然，則由根與系數(shù)的關(guān)系，

可得：，

⑤

⑥

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720024272224674/SYS201411172002488474597994_DA/SYS201411172002488474597994_DA.080.png">，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720024272224674/SYS201411172002488474597994_DA/SYS201411172002488474597994_DA.049.png">，

所以，

又，

故

令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720024272224674/SYS201411172002488474597994_DA/SYS201411172002488474597994_DA.093.png"> 所以，即，

所以.

所以

綜上所述：.

考點(diǎn)：圓錐曲線定義與性質(zhì)以及平面解釋幾何的綜合應(yīng)用。