Question

【題目】設(shè)曲線所圍成的封閉區(qū)域?yàn)?/span>D.

（1）求區(qū)域D的面積；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線C交于兩點(diǎn)P、Q，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）512（2）

【解析】

（1）由題設(shè)，由，因此.

若，則當(dāng)時(shí)，

此時(shí)，圖象時(shí)兩條直線段.

當(dāng)時(shí)，

，，對(duì)應(yīng)于一段二次函數(shù)的圖象.

若，則當(dāng)時(shí)，類似于前面的推導(dǎo)得，對(duì)應(yīng)于二次函數(shù)圖象的一段：.

當(dāng)時(shí)，

，得到，無(wú)解.

綜上所述，區(qū)域D的集合為：，

由區(qū)域D上函數(shù)圖象性質(zhì)，知區(qū)域D的面積為.

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為l，為了求的最大值，由區(qū)域D的對(duì)稱性，只需考慮直線l與D在y軸右側(cè)圖像相交部分即可.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l方程為，易知此時(shí)l與D相交時(shí)有.

1．當(dāng)時(shí)，l與D分別相交于二次函數(shù)以及，兩個(gè)交點(diǎn)分別為

，

.

因此，，為關(guān)于k的遞減函數(shù).

2．當(dāng)時(shí)，直線l與D分別相交于二次函數(shù)以及直線，從圖形性質(zhì)容易看出，隨著k從2變到1，的值逐步減少.

綜上所述，當(dāng)l經(jīng)過(guò)直線與二次函數(shù)的圖像交點(diǎn)時(shí)，的值最大，此時(shí)直線l的方程為：，，的值為

.

當(dāng)落在y軸上時(shí)，.因此，的最大值為.