Question

【題目】已知點，（為正整數(shù)）都在函數(shù)的圖象上.

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設，過點的直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為，試求最小的實數(shù)，使對一切正整數(shù)恒成立；

（3）對（2）中的數(shù)列，對每個正整數(shù)，在與之間插入個3，得到一個新的數(shù)列，設是數(shù)列的前項和，試探究2016是否是數(shù)列中的某一項，寫出你探究得到的結論并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）；（3）2016不是數(shù)列中的某一項.

【解析】

（1）先設等差數(shù)列的公差為，由題意得，根據(jù)等比數(shù)列的定義進行判斷即可；

（2）先由，則，求出，得出直線的方程為：，求出其與軸，軸的交點坐標，表示出，判斷單調性，即可得出結果；

（3）先由，得到數(shù)列中，從第一項開始到為止，（含項）的所有項的和，求出時，其和是， 時，其和是，結合題中條件，即可判斷出結果.

（1）設等差數(shù)列的公差為，由已知得，

所以為非零常數(shù)，

所以數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若，則，所以，

所以，

因此直線的方程為：，

所以它與軸，軸分別交于，，

因此，

所以在上恒成立；

因此，數(shù)列是單調遞減數(shù)列；所以；

又對一切正整數(shù)恒成立，所以；

即實數(shù)的最小值為；

（3）2016不是數(shù)列中的某一項，證明如下：

因為，所以數(shù)列中，從第一項開始到為止，（含項）的所有項的和是：

，

當時，其和是，

而當時，其和是

因為不是的倍數(shù)，

因此2016不是數(shù)列中的某一項.