Question

5．已知函數(shù)f（x）滿足f（a+b²）=f（a）+2f²（b）對(duì)a，b∈R恒成立，且f（1）≠0，則f（2012）=1006．

Answer 1

分析 本題利用賦值法解決，令a=b=0得：f（0）=f（0）+2f²（0）⇒f（0）=0；令a=0，b=1得：f（1）=f（0）+2f²（1），解得f（1）=$\frac{1}{2}$，令a=n，b=1得：f（n+1）=f（n）+2f²（1），{f（n）}構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果．

解答 解：令a=b=0得：
f（0）=f（0）+2f²（0）⇒f（0）=0；
令a=0，b=1得：
f（1）=f（0）+2f²（1）
∵f（1）≠，
∴f（1）=$\frac{1}{2}$
令a=n，b=1得：
f（n+1）=f（n）+2f²（1），
當(dāng)f（1）=$\frac{1}{2}$時(shí)
f（n+1）=f（n）+$\frac{1}{2}$
構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則f（2012）=f（1）+2011×$\frac{1}{2}$=$\frac{2011}{2}$+$\frac{1}{2}$=1006，
故答案為：1006

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查了數(shù)列的知識(shí)．解答的關(guān)鍵是利用賦值法解決問題．