Question

16．偶函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω為正整數(shù)，|φ|＜$\frac{π}{2}$），且f（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上遞減，則f（x）的周期不可能是（　�。�

• A． 2π
• B． π
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，利用周期公式求得ω，利用函數(shù)的奇偶性取得φ，得出函數(shù)的解析式，最后利用余弦函數(shù)的性質求得答案．

解答 解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$），
∵函數(shù)為偶函數(shù)，
∴φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cosωx，
∵f（x）在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上遞減，
∴函數(shù)的周期滿足$\frac{T}{2}$≥$\frac{π}{3}$，
即T≥$\frac{2π}{3}$，
故f（x）的周期不可能是$\frac{π}{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)圖象與性質．考查了學生的計算能力和細心程度．