Question

如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．AD垂直于PB于D，AE垂直于PC于E．PA=

2

，AB=BC=1．
（1）求證：PC⊥平面ADE；
（2）求AB與平面ADE所成的角；

Answer 1

（1）證明：因為PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，（2分）
又AB⊥BC，PA∩AB=A
所以BC⊥平面PAB，又AD?平面PAB，
則BC⊥AD，（4分）
又AD⊥PB，PB∩BC=B，
所以AD⊥平面PBC，（5分）
得PC⊥AD（6分）
又PC⊥AE，AE∩AD=A，所以PC⊥平面ADE（7分）

（2）在平面PBC上，過點B作BF平行于PC交ED延長線于點F，
連接AF，因為PC⊥平面ADE，所以BF⊥平面ADE，
所以∠BAF為直線AB和平面ADE所成的角（10分）
在三角形PBC中，PD=

2 3

3

，則BD=

3

3

，
由△PED與△BFD相似可得BF=

1

2

（12分）
在RT△BFA中，sin∠BAF=

BF

BA

=

1

2

，（13分）
所以直線AB與平面ADE所成的角為30°．（14分）