Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列命題：
①•＞0，則△ABC為鈍角三角形．
②若b=csinB，則C=45°．
③若a²=b²+c²-bc，則A=60°．
④若已知E為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足，設(shè)，則λ=2，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：利用向量的數(shù)量積公式及向量夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系，判斷出①的對(duì)錯(cuò)；
利用正弦定理判斷出②的對(duì)錯(cuò)；
利用余弦定理判斷出③的對(duì)錯(cuò)；
利用三角形重心滿足的向量關(guān)系及重心的度量關(guān)系判斷出④的對(duì)錯(cuò)．
解答：解：對(duì)于①，∵所以兩個(gè)向量的夾角為銳角，又兩個(gè)向量的夾角為三角形的內(nèi)角B的補(bǔ)角，所以B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形，故①對(duì)
對(duì)于②，由正弦定理得sinB=sinCsinB，所以sinC=，所以C=45°或135°，故②錯(cuò)
對(duì)于③，由三角形中的余弦定理，得b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc即則A=60°，故③對(duì)
對(duì)于④，∵∴P為三角形的重心，所以，∴λ=2，故④對(duì)．
故選C
點(diǎn)評(píng)：在三角形中，當(dāng)條件中出現(xiàn)邊的平方關(guān)系或角的余弦形式時(shí)常利用余弦定理解決；當(dāng)條件中出現(xiàn)正弦形式時(shí)常考慮正弦定理解決；三角形的重心滿足的向量關(guān)系：以重心為始點(diǎn)，三角形的三頂點(diǎn)為終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的三向量和為零向量．