Question

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)， ，且，求證： ，其中是的導(dǎo)函數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y＝2x－1；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）由于的圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)， ，可得方程的兩個(gè)根為， ，得到，可得，經(jīng)過(guò)變形只要證明，通過(guò)換元再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ， ，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率，∴切線方程為，即．

（Ⅱ）∵的圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)， ，∴方程的兩個(gè)根為， ，則，兩式相減得，又， ，則，下證（*），即證明，令，∵，∴，即證明在上恒成立，∵，又，∴，∴在上是增函數(shù)，則，從而知，故（*）式，即成立.