【題目】已知,,.
(Ⅰ)若,求的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)的兩個零點為,記,證明:.
【答案】(Ⅰ)極大值為,無極小值;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】分析:(Ⅰ)先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,然后可得當(dāng)時,有極大值,無極小值.(Ⅱ)不妨設(shè),由題意可得,即,又由條件得,構(gòu)造,令,則,利用導(dǎo)數(shù)可得,故得,又,所以.
詳解:(Ⅰ),
,
由得,
且當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)時,有極大值,且,無極小值.
(Ⅱ)函數(shù)的兩個零點為,不妨設(shè),
,.
,
即,
又,,
,
.
令,則
,
在上單調(diào)遞減,
故,
,
即,
又,
.
點睛:(1)研究方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大(。┲、函數(shù)的變化趨勢等,根據(jù)題目要求,畫出函數(shù)圖象的大體圖象,然后通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).
(2)證明不等式時常采取構(gòu)造函數(shù)的方法,然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為:.
(Ⅰ)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線交于不同的兩點,若,求的值.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)或.
【解析】分析:(Ⅰ)將參數(shù)方程消去參數(shù)可得普通方程,由,得,根據(jù)轉(zhuǎn)化公式可得直角坐標(biāo)方程.(Ⅱ)將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程整理得二次方程,然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求得弦長,進(jìn)而可得或.
詳解:(Ⅰ)將(為參數(shù),)消去參數(shù),整理得,
∴直線普通方程為.
∵,
∴,
將代入上式,得,
∴曲線的普通方程為.
(Ⅱ)將(為參數(shù),)代入方程整理得:
,
顯然.
設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為,
則,
∴,
解得
又,
∴或.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中有7個球,其中4個白球,3個紅球,從袋中任意取出2個球,求下列事件的概率:
(1) 取出的2個球都是白球;
(2)取出的2個球中1個是白球,另1個是紅球.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng)時,求的圖象在處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個不同零點, ,且,求證: ,其中是的導(dǎo)函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時,證明:;
(3)設(shè)函數(shù)的圖象與直線的兩個交點分別為,,的中點的橫坐標(biāo)為,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點分別為,離心率為,過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點M(0,-1),直線l經(jīng)過點N(2,1)且與橢圓C相交于A,B兩點(異于點M),記直線MA的斜率為,直線MB的斜率為,證明 為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 直線與拋物線交于兩點, 線段的垂直平分線與直線交于點.
(1)求點的坐標(biāo);
(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段下方(含)的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值.
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