【題目】已知點(diǎn)P是圓F1:(x﹣1)2+y2=8上任意一點(diǎn),點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,線段PF2的垂直平分線分別與PF1,PF2交于M,N兩點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)G(0, )的動(dòng)直線l與點(diǎn)的軌跡C交于A,B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)Q,使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1) (2)在y軸上存在定點(diǎn)Q(0,﹣1),使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn).
【解析】試題分析:(1)由圓的方程求出F1、F2的坐標(biāo),結(jié)合題意可得點(diǎn)M的軌跡C為以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓,并求得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)直線l的方程可設(shè)為 ,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A,B橫坐標(biāo)的和與積,假設(shè)在y軸上是否存在定點(diǎn)Q(0,m),使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn),可得 ,即 .利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得m值,即定點(diǎn)Q得坐標(biāo).
試題解析:
(1)由圓F1:(x﹣1)2+y2=8,得F1(1,0),則F2(﹣1,0),
由題意得 ,
∴點(diǎn)M的軌跡C為以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓,
∵
∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為;
(2)直線l的方程可設(shè)為,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立 可得9(1+2k2)x2+12kx﹣16=0.
則+= , = ,
假設(shè)在y軸上是否存在定點(diǎn)Q(0,m),使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn),
則,即.
∵ ,
∴= + = +
∴ ,解得m=﹣1.
因此,在y軸上存在定點(diǎn)Q(0,﹣1),使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一元二次不等式﹣x2+x+2>0的解集是( )
A.{x|x<﹣1或x>2}
B.{x|x<﹣2或x>1}
C.{x|﹣1<x<2}
D.{x|﹣2<x<1}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)設(shè)關(guān)于的一元二次方程 ()有兩根和,且滿足.
(1)試用表示;
(2)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(3)當(dāng)時(shí),求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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【題目】設(shè)向量 =(cosθ,sinθ), =(﹣ , );
(1)若 ∥ ,且θ∈(0,π),求θ;
(2)若|3 + |=| ﹣3 |,求| + |的值.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足Sn=2an+n(n∈N*).
(1)求證數(shù)列{an﹣1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=log2(﹣an+1),求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn .
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【題目】某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè),投資債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A的收益與投資成正比,其關(guān)系如圖1所示;投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品B的收益與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2所示(收益與投資單位:萬元).
(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的收益表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該家庭現(xiàn)有10萬元資金,并全部投資債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A及股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品B兩種產(chǎn)品,問:怎樣分配這10萬元投資,才能使投資獲得最大收益,其最大收益為多少萬元?
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【題目】若函數(shù)f(x)=ax2﹣(2a+1)x+a+1對(duì)于a∈[﹣1,1]時(shí)恒有f(x)<0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )
A.(1,2)
B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)
C.(0,1)
D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
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【題目】設(shè)公差大于0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,且成等比數(shù)列,記數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求;
(2)若對(duì)于任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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