Question

19．已知函數f（x）=e^x-ax-a（其中a∈R，e是自然對數的底數，e=2.71828…）．
（Ⅰ）當a=e時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性
（Ⅲ）若f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 當a=e時，f（x）=e^x-ex-e，f'（x）=e^x-e，由導數確定函數的單調性及極值；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a得到范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅲ）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，從而化恒成立問題為最值問題，討論求實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 當a=e時，f（x）=e^x-ex-e，f'（x）=e^x-e，
當x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0．
所以函數f（x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
所以函數f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-e，函數f（x）無極大值．
（Ⅱ）f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a，
當a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調遞增；
當a＞0時，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
則在（-∞，lna]上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增；
（Ⅲ）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，
若a＜0，則f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
當x趨近于負無窮大時，f（x）趨近于負無窮大；
當x趨近于正無窮大時，f（x）趨近于正無窮大，
故a＜0不滿足條件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，滿足條件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
當x＜lna時，f'（x）＜0；當x＞lna時，f'（x）＞0，
所以函數f（x）在（-∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，
所以函數f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=e^lna-a•lna-a=-a•lna，
由f（lna）≥0得-a•lna≥0，
解得0＜a≤1．
綜上，滿足f（x）≥0恒成立時實數a的取值范圍是[0，1]．

點評 本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．