Question

已知兩個(gè)不共線的向量

OA

，

OB

的夾角為θ（θ為定值），且|

OA

|=3，|

OB

|=2．
（1）若θ=

π

3

，求

OA

•

AB

的值；
（2）若點(diǎn)M在直線OB上，且|

OA

+

OM

|的最小值為

3

2

，試求θ的值．

Answer 1

分析：本題有兩種解答思路：
解法一：（1）根據(jù)兩個(gè)不共線的向量

OA

，

OB

的夾角θ=

π

3

，及|

OA

|=3，|

OB

|=2，結(jié)合

AB

=

OB

-

OA

，我們代入直接求出

OA

•

AB

；（2）由點(diǎn)M在直線OB上，我們?cè)O(shè)

OM

=λ

OB

，結(jié)合|

OA

+

OM

|2=

OA

2+2

OA

•

OM

+

OM

2，分類討論λ＞0（即

OM

與

OB

同向）、λ＜0（即

OM

與

OB

反向）即可求出對(duì)應(yīng)λ的值．
解法二：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB方向?yàn)閄軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)造出各個(gè)點(diǎn)及各個(gè)向量的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法進(jìn)行解答．

解答：解法一：（1）

OA

•

AB

=

OA

•(

OB

-

OA

)=-

OA

2+

OA

•

OB

=-|

OA

|2+|

OA

||

OB

|cosθ=-9+3×2×

1

2

=-6（6分）
（2）設(shè)

OM

=λ

OB

，
則顯然λ≠0
|

OA

+

OM

|2=

OA

2+2

OA

•

OM

+

OM

2
①當(dāng)λ＞0時(shí)
|

OA

+

OM

|2=|

OA

|2+2|

OA

|•|

OM

|cosθ+|

OM

|2
=9+12cosθ•λ+4λ²（*）（8分）
要使得（*）有最小值，
其對(duì)稱軸λ=-

3

2

cosθ＞0，
即cosθ＜0
故|

OA

+

OM

|2min=

144-144cos2θ

16

=

9

4

，
解得cosθ=-

3

2

（10分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°（12分）
②當(dāng)λ＜0時(shí)
|

OA

+

OM

|2=|

OA

|2-2|

OA

|•|

OM

|cosθ+|

OM

|2
=9+12cosθ•λ+4λ²（#）
要使得（#）有最小值，
其對(duì)稱軸λ=-

3

2

cosθ＜0，
即cosθ＞0
故|

OA

+

OM

|2min=

144-144cos2θ

16

=

9

4

，
解得cosθ=

3

2

又0°≤θ≤180°
∴θ=30°（15分）
綜上所述，θ=30°或150°（16分）
法二：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB方向?yàn)閄軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（3cosθ，3sinθ），B（2，0）
（1）當(dāng)θ=

π

3

時(shí)，

OA

=(

3

2

，

3 3

2

)，

AB

=(

1

2

，-

3 3

2

)（3分）
∴

OA

•

AB

=

3

4

-

27

4

=-6（6分）
（2）設(shè)

OM

=(2λ，0)，
則

OA

+

OM

=(3cosθ+2λ，3sinθ)（8分）
|

OA

+

OM

|2=(3cosθ+2λ)2+9sin2θ=4λ2+12cosθ•λ+9（10分）
當(dāng)λ=-

3

2

cosθ時(shí)，
|

OA

+

OM

|2min=

144-144cos2θ

16

=

9

4

解得cosθ=±

3

2

（14分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°或150°（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的模及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，在處理與向量模有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，如果能使用坐標(biāo)法，我們可根據(jù)

a

=(x，y)，則|

a

|=

x2+y2

來(lái)處理，若沒(méi)有坐標(biāo)，則一般要使用平方法處理．