【題目】在三棱錐各棱所在的6條直線上，互相垂直的最多有兒對？（每兩條組成一對）

【答案】6

【解析】

分三步證明最多有6對互相垂直的直線.

（1）6對是可以達到的.

當且時，由線面垂直的性質(zhì)有，，.

又由三垂線定理，有，.這就得出6對互相垂直的直線(如圖所示).

(2)8對是不可能的.

由于一個三角形的內(nèi)角中最多有一個直角，最少有兩個銳角，所以4個面三角形至少有8個銳角，又由6條直線可以組成對直線，知，互相垂直的直線不超過7對.

(3)7對是不可能的.

若不然，有7對垂直直線，因異面直線只有3對，故至少有4對垂直直線是共面的，

得三棱錐的4個表面都必須是直角三角形（得4對）.

進而3對成異面直線的棱也互相垂直.

此時，三棱錐的一個頂點在所對面上的射影必是該三角形的垂心，

而直角三角形的垂心就是直角頂點，所以這個三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，且垂足就是垂面三角形的頂點(圖中，).

這時底面三角形直角頂點的對面為銳角三角形（為銳角三角形），與4個面均為直角三角形矛盾.

綜上得，互相垂直的直線最多有6對.

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