如圖所示,正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1,E、F 分別是棱AA',CC'的中點,過直線E、F的平面分別與棱BB′,DD′交于M、N,設(shè)BM=x,x∈[0,1],給出以下四個命題:
①當且僅當x=0時,四邊形MENF的周長最大;
②當且僅當x=
1
2
時,四邊形MENF的面積最;
③四棱錐C′-MENF的體積V=h(x)為常函數(shù);
④正方體ABCD-A′B′C′D′被截面MENF平分成等體積的兩個多面體.
以上命題中正確命題的個數(shù)( 。
分析:①判斷周長的變化情況.②四邊形MENF的對角線EF是固定的,所以要使面積最小,則只需MN的長度最小即可.③求出四棱錐的體積,進行判斷.④計算兩個多面體的體積關(guān)系.
解答: 解:①因為EF⊥MN,所以四邊形MENF是菱形.當x∈[0,
1
2
]時,EM的長度由大變。攛∈[
1
2
,1]時,EM的長度由小變大.
      所以當x=0或x=1時周長都為最大值.所以①錯誤.
②連結(jié)MN,因為EF⊥平面BDD'B',所以EF⊥MN,四邊形MENF的對角線EF是固定的,所以要使面積最小,則只需MN的長度最小即可,此時當M為棱的中點時,即x=
1
2
時,此時MN長度最小,對應(yīng)四邊形MENF的面積最。寓谡_.
③連結(jié)C'E,C'M,C'N,則四棱錐則分割為兩個小三棱錐,它們以C'EF為底,以M,N分別為頂點的兩個小棱錐.因為三角形C'EF的面積是個常數(shù).M,N到平面C'EF的距離是個常數(shù),所以四棱錐C'-MENF的體積V=h(x)為常函數(shù),所以③正確.
④因為E,F(xiàn)是固定的中點,所以當M在運動時,AM=D'N,DN=B'M,所以被截面MENF平分成的兩個多面體是完全相同的,所以它們的體積也是相同的.所以④正確.
所以四個命題中②③④是真命題.
所以選B.
點評:本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式,本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進行的有機的結(jié)合,綜合性較強,設(shè)計巧妙,對學生的解題能力要求較高.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB、BC的中點,G為DD1上一點,且D1G:GD=1:2,AC∩BD=O,求證:平面AGO∥平面D1EF.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB、BC的中點,G為DD1上一點,且D1G:GD=1:2,AC∩BD=O,求證:平面AGO//平面D1EF.

 
 


查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,點MAB上,且AMAB,點P在平面ABCD上,且動點P到直線A1D1的距離的平方與P到點M的距離的平方差為1,在平面直角坐標系xAy中,動點P的軌跡方程是________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2012年人教B版高中數(shù)學必修2 1.2點 線 面之間的位置關(guān)系練習卷(解析版) 題型:解答題

(12分)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB、BC的中點,G為DD1上一點,且D1G:GD=1:2,AC∩BD=O,求證:平面AGO//平面D1EF.

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案