Question

16．如圖，已知橢圓C₁的中心在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M、N在x軸上，橢圓C₂的短軸為MN，且C₁、C₂的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C₁交于兩點(diǎn)，與C₂交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)縱坐標(biāo)從大到小依次為A、B、C、D．
（1）設(shè)$e=\frac{1}{2}$，求|BC|與|AD|的比值；
（2）若存在直線l，使得BO∥AN，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)橢圓方程，聯(lián)立即可求得A和B坐標(biāo)，當(dāng)$e=\frac{1}{2}$時(shí)，$b=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，分別用y_A、y_B表示A、B的縱坐標(biāo)，$\frac{{|{BC}|}}{{|{AD}|}}=\frac{{2|{y_B}|}}{{2|{y_A}|}}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$；
（2）分類，當(dāng)t=0時(shí)的l不符合題意，當(dāng)t≠0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率k_BO與AN的斜率k_AN相等，根據(jù)斜率公式求得t，由$\frac{{1-{e^2}}}{e^2}＜1$，即可橢圓離心率e的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)镃₁、C₂的離心率相同，
故依題意可設(shè)${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，{C_2}：\frac{{{b^2}{y^2}}}{a^4}+\frac{x^2}{a^2}=1，（a＞b＞0）$．
設(shè)直線l：x=t（|t|＜a）分別和C₁、C₂的方程聯(lián)立，
求得$A（t，\frac{a}\sqrt{{a^2}-{t^2}}），B（t，\frac{a}\sqrt{{a^2}-{t^2}}）$．
當(dāng)$e=\frac{1}{2}$時(shí)，$b=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，分別用y_A、y_B表示A、B的縱坐標(biāo)，
∴$\frac{{|{BC}|}}{{|{AD}|}}=\frac{{2|{y_B}|}}{{2|{y_A}|}}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$．
|BC|與|AD|的比值$\frac{3}{4}$；
（2）t=0時(shí)的l不符合題意，t≠0時(shí)，BO∥AN，當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率k_BO與AN的斜率k_AN相等，
即：$\frac{{\frac{a}\sqrt{{a^2}-{t^2}}}}{t}=\frac{{\frac{a}\sqrt{{a^2}-{t^2}}}}{t-a}$，解得$t=-\frac{{a{b^2}}}{{{a^2}-{b^2}}}=-\frac{{1-{e^2}}}{e^2}•a$．
因?yàn)閨t|＜a，又0＜e＜1，
所以$\frac{{1-{e^2}}}{e^2}＜1$，解得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜e＜1$．
∴當(dāng)$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜e＜1$時(shí)，存在直線l，使得BO∥AN，即離心率e的取值范圍是$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$，
∴橢圓離心率e的取值范圍$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓離心率的應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．