Question

已知f（x）=1-x+lnx，g（x）=mx-1（m＞0）
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)m=2時(shí)，令b=f（a）+g（a）+2，求證：b-2a≤1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)值為0，找出單調(diào)區(qū)間，（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x）≤0，對(duì)h（x）求導(dǎo)，從而求出m的值，（Ⅲ）先求出b，再利用f（x）的表達(dá)式代入，問(wèn)題得證．

解答： 解：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
由f′（x）=0，得x=1．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
∴函數(shù)y=f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ） 令h（x）=f（x）-g（x）=lnx-（1+m）x+2，
則h′（x）=

1

x

-（m+1），
∵m＞0，
∴m+1＞0，由h′（x）=0得x=

1

1+m

，
當(dāng)x∈（0，

1

1+m

）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，

1

1+m

）上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（

1

1+m

，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（

1

1+m

，+∞）上是減函數(shù)．
∴h（x）在（0，+∞）上的最大值為：h（

1

1+m

）=1-ln（1+m）≤0，
解得：m≥e-1；
所以當(dāng)m≥e-1時(shí)f（x）≤g（x）恒成立．
（Ⅲ）由題意知，b=lna+a+2．
由（Ⅰ）知：f（x）=lnx-x+1≤f（1），即有不等式lnx-x+1≤0（x＞0）．
于是：b=lna+a+2=lna-a+1+2a+1≤2a+1，
即：b-2a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．