【題目】從某地區(qū)小學(xué)的期末考試中抽取部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，由抽查結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖，分數(shù)落在區(qū)間，，內(nèi)的頻率之比為．

（1）求這些學(xué)生的分數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率；

（2）若將頻率視為概率，從該地區(qū)小學(xué)的這些學(xué)生中隨機抽取3人，記這3人中成績位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

【答案】（1）；（2）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為1.8

【解析】

（1）設(shè)區(qū)間內(nèi)的頻率為，則區(qū)間，內(nèi)的頻率分別為和，再利用小矩形的面積和為1即可；

（2）從該小學(xué)的這些學(xué)生中隨機抽取3人，相當(dāng)于進行了3次獨立重復(fù)試驗．所以服從二項分布，由頻率分布直方圖易得，再利用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算即可得到答案.

（1）設(shè)區(qū)間內(nèi)的頻率為，

則區(qū)間，內(nèi)的頻率分別為和．

依題意得，解得．

所以區(qū)間內(nèi)的頻率為．

（2）從該小學(xué)的這些學(xué)生中隨機抽取3人，相當(dāng)于進行了3次獨立重復(fù)試驗．

所以服從二項分布，其中．

由（1）得，區(qū)間內(nèi)的頻率為．

將頻率視為概率得．

因為的所有可能取值為0，1，2，3．

且；

；

；

．

所以的分布列為：

0

1

2

3

所以的數(shù)學(xué)期望為．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在直角坐標系中，已知點，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）設(shè)曲線與曲線相交于，兩點，求的值.

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【題目】某中學(xué)舉行的“新冠肺炎”防控知識閉卷考試比賽，總分獲得一等獎、二等獎、三等獎的代表隊人數(shù)情況如下表，該校政教處為使頒獎儀式有序進行，氣氛活躍，在頒獎過程中穿插抽獎活動，并用分層抽樣的方法從三個代表隊中共抽取16人在前排就坐，其中一等獎代表隊有6人.

（1）求二等獎代表隊的男生人數(shù)；

（2）從前排就坐的三等獎代表隊員5人（2男3女）中隨機抽取3人上臺領(lǐng)獎，請求出只有一個男生上臺領(lǐng)獎的概率；

（3）抽獎活動中，代表隊員通過操作按鍵，使電腦自動產(chǎn)生[2，2]內(nèi)的兩個均勻隨機數(shù)x，y，隨后電腦自動運行如圖所示的程序框圖的相應(yīng)程序，若電腦顯示“中獎”，則代表隊員獲相應(yīng)獎品；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎，求代表隊隊員獲得獎品的概率.

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【題目】受突如其來的新冠疫情的影響，全國各地學(xué)校都推遲2020年的春季開學(xué).某學(xué)校“停課不停學(xué)”，利用云課平臺提供免費線上課程.該學(xué)校為了解學(xué)生對線上課程的滿意程度，隨機抽取了500名學(xué)生對該線上課程評分.其頻率分布直方圖如下：若根據(jù)頻率分布直方圖得到的評分低于80分的概率估計值為0.45.

（1）（i）求直方圖中的a，b值；

（ii）若評分的平均值和眾數(shù)均不低于80分視為滿意，判斷該校學(xué)生對線上課程是否滿意？并說明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）若采用分層抽樣的方法，從樣本評分在[60，70）和[90，100]內(nèi)的學(xué)生中共抽取5人進行測試來檢驗他們的網(wǎng)課學(xué)習(xí)效果，再從中選取2人進行跟蹤分析，求這2人中至少一人評分在[60，70）內(nèi)的概率.

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【題目】“珠算之父”程大位是我國明代著名的數(shù)學(xué)家，他的應(yīng)用巨著《算法統(tǒng)綜》中有一首“竹筒容米”問題：“家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節(jié)四升五，上梢四節(jié)三升八，唯有中間兩節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(（注）四升五：4.5升，次第盛：盛米容積依次相差同一數(shù)量．)用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識求得中間兩節(jié)竹的容積為

A. 2.2升B. 2.3升

C. 2.4升D. 2.5升

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，．過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3，直線與橢圓相切．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)過點的直線與橢圓相交于，兩點，若，問直線是否存在？若存在，求直線的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（1）EF//平面PCD；

（2）平面PAB平面PCD．

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【題目】某同學(xué)計劃用他姓名的首字母，身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個符號設(shè)置一個六位的密碼．若必選，且符號不能超過兩個，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對順序不變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（ ）

A.864B.1009C.1225D.1441

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【題目】我國是世界上嚴重缺水的歸家之一，某市為了制訂合理的節(jié)水方案，對家庭用水情況進行了抽樣調(diào)查，獲得了某年100個家庭的月均用水量（單位：）的數(shù)據(jù)，將這些數(shù)據(jù)按照，，，，，，，，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求圖中的值，若該市有30萬個家庭，試估計全市月均用水量不低于的家庭數(shù)；

（2）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，試估計全市家庭月均用水量的平均數(shù)；

（3）現(xiàn)從月均用水量在，的家庭中，先按照分層抽樣的方法抽取9個家庭，再從這9家庭中抽取4個家庭，記這4個家庭中月均用水量在中的數(shù)量為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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