Question

如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A₁，A₂，…，A₉和B₁，B₂，…，B₉，連接OB_i，過(guò)A_i作x軸的垂線與OB_i，交于點(diǎn)P_i（i∈N*，1≤i≤9）．
（1）求證：點(diǎn)P_i（i∈N^*，1≤i≤9）都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)C作直線與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)MN，若

MC

=

CN

，求直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意，求出過(guò)A_i（i∈N^*，1≤i≤9）且與x軸垂直的直線方程為x=i，B_i的坐標(biāo)為（10，i），即可得到直線OB_i的方程為y=

i

10

x．由

x=i y= i 10 x

，即可得到P_i滿足的拋物線方程．
（2）由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+10，與拋物線的方程聯(lián)立得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，及利用面積公式S_△OCM=S_△OCN，可得|x₁|=4|x₂|．即x₁=-4x₂．聯(lián)立即可得到k，進(jìn)而得到直線方程．

解答： （1）證明：由題意，過(guò)A_i（i∈N^*，1≤i≤9）且與x軸垂直的直線方程為x=i，
B_i的坐標(biāo)為（10，i），
∴直線OB_i的方程為y=

i

10

x．
設(shè)P_i（x，y），由

x=i y= i 10 x

，解得y=

x2

10

，即x²=10y．
∴點(diǎn)P_i（i∈N^*，1≤i≤9）都在同一條拋物線上，
拋物線E的方程為x²=10y．
（2）解：由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+10，
聯(lián)立

y=kx+10 x2=10y

，消去y得到x²-10kx-100=0，
此時(shí)△＞0，直線與拋物線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
設(shè)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=10k，x₁x₂=-100，
∵S_△OCM=4S_△OCN，∴|x₁|=4|x₂|．∴x₁=-4x₂．
聯(lián)立

x1+x2=10k x1x2=-100 x1=-4x2

，解得k=±

3

2

．
∴直線l的方程為y=±

3

2

x+10．
即為3x+2y-20=0或3x-2y+20=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸方法、計(jì)算能力、數(shù)形結(jié)合的思想方法、函數(shù)與方程思想方法、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．